Натуральные числа - это числа, которые используются для счета (1, 2, 3, ...). В математике существуют формулы для быстрого вычисления суммы последовательных натуральных чисел.
Содержание
Натуральные числа - это числа, которые используются для счета (1, 2, 3, ...). В математике существуют формулы для быстрого вычисления суммы последовательных натуральных чисел.
Формула суммы первых n натуральных чисел
Сумма первых n натуральных чисел вычисляется по формуле:
| Формула | S = n(n + 1)/2 |
| Где |
|
Примеры вычислений
Пример 1: Сумма чисел от 1 до 10
Используем формулу при n = 10:
S = 10(10 + 1)/2 = 10×11/2 = 55
Пример 2: Сумма чисел от 1 до 100
При n = 100:
S = 100(100 + 1)/2 = 100×101/2 = 5050
Историческая справка
Легенда гласит, что эту формулу в детстве открыл Карл Гаусс, когда учитель задал классу сложить все числа от 1 до 100. Он заметил закономерность:
| 1 + 100 = 101 |
| 2 + 99 = 101 |
| 3 + 98 = 101 |
| ... |
| 50 + 51 = 101 |
Таких пар ровно 50, поэтому общая сумма 50×101 = 5050.
Другие виды сумм натуральных чисел
Сумма квадратов натуральных чисел
S = n(n + 1)(2n + 1)/6
Сумма кубов натуральных чисел
S = [n(n + 1)/2]²
Практическое применение
Формулы суммы натуральных чисел используются в:
- Алгоритмах программирования
- Теории вероятностей
- Экономических расчетах
- Физических задачах
Проверка формулы для n = 5
- Вычисляем по формуле: 5×6/2 = 15
- Складываем вручную: 1+2+3+4+5 = 15
- Результаты совпадают
Интересный факт
Сумма любых последовательных натуральных чисел (не обязательно начинающихся с 1) может быть вычислена по формуле:
S = (a₁ + aₙ)n/2
где a₁ - первое число, aₙ - последнее число последовательности.
